§ 12. Последовательность независимых
испытаний и биномиальный закон распределения
Назовем испытанием любое осуществление случайного эксперимента, производимого последовательно в неизменных условиях. При этом пространство элементарных исходов W при каждом испытании будет одним и тем же. Испытания будем называть независимыми, если верно равенство
,
где Аi - исход i-го испытания, i = 1, 2, ..., n.
Представим себе, что в каждом испытании мы наблюдаем за осуществлением (или неосуществлением) одного и того же события А, вероятность которого, в силу идентичности случайных экспериментов, не зависит от номера испытания, Р(Аi) = p, 0 £ p £ 1.
Для краткости речи назовем
осуществление события А “успехом”, а осуществление события 
(неосуществление события А)
“неудачей”. Очевидно, 
, независимо от номера испытания. Последовательность
испытаний, в каждом из которых вероятность “успеха” равна р, называют “схемой
Бернулли” по имени швейцарского математика Я. Бернулли.
С последовательностью n испытаний Бернулли свяжем случайную величину x n, равную числу “успехов”, наступивших в результате их осуществления. Очевидно, x n принимает одно из значений 0,1, ..., n.
Теорема 12.1. В схеме Бернулли 
, (12.1)
где
n - число испытаний, p- вероятность “успеха”, q = 1 - p - вероятность “неудачи”, k = 0, 1, 2, ..., n.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Идею доказательства продемонстрируем вначале на случае, когда n = 2. Возможные исходы двух испытаний можно представить в виде четырех пар символов У и Н: УУ, УН, НУ, НН. В силу независимости испытаний имеем
P(x 2 = 2) = Р(УУ) = p2 ;
P(x 2 = 1) = Р(УН È НУ) = Р(УН) + Р(НУ) = 2p× q;
P(x 2 = 0) = Р(НН) = q2.
В общем случае результат n последовательных испытаний, среди которых получено k “успехов” и n - k “неудач”, можно записать в виде строки
(УНУНУУУ ...), в которой всего n символов, из них k литер У, n-k литер Н.
Вероятность каждого такого
набора равна 
(при
этом используется независимость испытаний). Количество таких строк (наборов)
равно числу способов выбора k различных элементов (мест для литеры У) среди n
различных элементов (всех мест строки), то есть 
.
По теореме сложения
вероятность события (x n = k) равна сумме вероятностей всех строк
(наборов) указанного выше вида, а поскольку число их 
и каждая имеет вероятность , то 
. ¨
Заметим, что 
.
Набор вероятностей 
(k = 0, 1, ..., n) называют распределением Бернулли
или биномиальным распределением, а формулу (12.1) - формулой
Бернулли.
Теперь, естественно,
возникает вопрос о нахождении наиболее вероятного числа успехов. Число 
, при котором вероятность
максимальна, иногда
называют наивероятнейшим числом “успехов”.
Теорема 12.2. Если 
- целое число, то 
, если 
- целое число, то имеет два значения 
и 
,
и, если - не целое
число, то заключено
в пределах 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим отношение
.
Поэтому, если 
,
то 
( с ростом k
вероятности возрастают) ; если 
, то 
( с ростом k вероятности убывают ). Пусть 
- наибольшее целое число, не
превосходящее
. Тогда
. Если - целое , то наиболее
вероятных значений k0 два
¨
Пример 12.1. Случайная величина x распределена по биномиальному закону. Найти Mx и Dx .
Р е ш е н и е. Запишем ряд распределения случайной величины x .
|
xi |
0 |
1 |
2 |
... |
n |
|
Pi |
P0(0) |
P1(1) |
P2(2) |
... |
Pn(n) |
Здесь 
, k = 0,1,... ,n.
Так как x - дискретная случайная величина, то в силу ( 10.1 )
.
Вынесем за знак суммы общий
множитель np, в результате чего получим 
.
Сделаем в последней сумме замену i - 1 = k, что даст
,
поскольку p + q = 1.
Итак, 
, то есть среднее число “успехов”
в n независимых испытаниях Бернулли равно произведению числа испытаний на
вероятность “успеха” в каждом из них.
Для определения Dx воспользуемся (10.2)
Вычислим 
:
Запишем в последней сумме
выражение для 
:
Вынесем здесь за знак суммы
общий множитель 
:
Сделаем замену i
- 2 = k:
Теперь получаем
.
. u